デジカメ測光の結果の処理法
　　　　　 ロジスティック曲線への回帰
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　更新日；'１1.1.16

�T　はじめに
　　　　◆　ピンボケ像で，適正露出で撮影した画像処理では以下の面倒な処理の必要がありません。
　　　　　　直線回帰で処理しましょう。

デジタルカメラによる変光星の観測で，観測結 　果から求まる等級と星表に示されている等級の 　関係をグラフ化すると、多くの場合は「グラフ− 　１」のような曲線となります。 　　ところが一般の天体画像処理ソフトの「光度測 　定」ツールは冷却CCDを対象としているため，観 　測値と星表による値が正比例の関係にあること 　を前提にして処理しています。 　　そのため，デジタルカメラによる観測値を一般 　の画像処理ソフトで処理しても，適正な結果が 　得られません。 　　曲線の一部を直線とみなして，直線に回帰させ 　る方法もありますが，ここでは曲線の全範囲をロ 　ジスティック曲線に回帰させる方法で処理するこ 　とを説明してみましょう。 「グラフ−１」のデータ 　　対　象　＝　わし座付近 　　撮影地　＝　東京都国分寺市光町 　　撮影日　＝　2010年.8月5日 　　カメラ　　＝　ニコンD700 　　レンズ　 ＝　85mm，f1.8 　　露　出 　＝　絞りｆ４， ２０秒，　 ISO８００ 　　その他　＝　ノイズ除去設定。 　　　　　　　　　　焦点像， ４画像をコンポジット

「グラフ−１」

�U　ロジスティック曲線

◆　ロジスティック曲線とは 　　ロジスティック曲線は右の「グラフ−２」で示された 　曲線です。 　　ロジスティック曲線を式で示したものが，「グラフ− 　３」の下の(1)の式です。　ここで、α，β，γは定数 　ですが，グラフと各定数によってグラフの大きさや形 　が変わります。 　　「グラフ−２」で分かるとおり、従来の写真フィルム 　での光量に対する感度の曲線と似ていることがわか 　ります。 　　「グラフ−１」のデジカメの感度はロジスティック曲 　線の一部として対応できそうなことが分かると思い 　ます。

「グラフ−２」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

�V　原　理
　　R・G・Bの三色分解して得たG画像での測定値の等級をG，この星のティコ星表の値をＶｔとします。
　　次に，（１）式のｙへGを、ｘにＶｔの値を代入しますす。
　　また，G等級の最小値が０等というわけではないので，グラフをG（ｙ軸）方向へ平行移動さるために，（１）式の
　右辺に第四の定数δを加えます。
　　さらに，後に直線回帰によってαとβの値を決定する時の便宜のため，（１）式のαとβを入れ替えた上でＶｔ
　の係数αの負号も正に変えます。
　　その結果、（１）式は下の（２）式に書き換えられます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

	↓　　「グラフ−３」
解　説 　　（２）式をグラフ化したものが 　「グラフ−３」です。 　　ただし，「星の等級は小さいほ 　ど明るい」という関係になってい 　ることを考慮して，グラフの上下 　・左右を反転しました。 　　また，Ｐ点はグラフの傾きが 　「１」となる点（曲線の変曲点） 　で，Ｐ点のＧ座標とＶｔ座標の値 　はどちらもｐとします。 　　Ｇ座標上のｐはδとγの中間 　点になります。 　　このように変換されたロジステ 　ィック曲線へ，観測で得られた 　値を当てはめるために，Ｐ点で 　の接線（Ｇ＝Ｖｔの直線）と観測 　値がどれだけずれるかを求める 　必要がありま　す。 　　グラフ上でのＱＱ’は，Ｖｔ座標 　でＰ点よりも５等明るい位置で 　のＧ座標のずれを示すための 　ものです。

　　さらに（２）式を変換して，ｅ^{αＶｔ＋β}の式として，自然対数をとると，下の（３）式が得られます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・（３）
　（３）式はＶｔの一次式として表されているため，Ｇを含む左辺の値を直線に回帰させることができる。


�W　定数α，β，γ，δの概数を求める
　　　　◆　αとβの値は，この項の後半で直線への回帰をおこなう際に自動的に求まるので，次の手順で
　　　　　γとδを先に求めます。
　１．グラフの傾きが１となる点を定める
　　　　　　　　　（Ｐ点は傾きが＜１から１となり、再び＜１に変化する境界で、グラフの変曲点に相当します）
　　（１）　明るさが暗くなる（＝等級が大きくなる）にしたがってグラフの傾きが小さくなる領域（「グラフ−３」では点Ｐの左側）が認められ
　　　　ない場合は観測領域の最大値をＰとする。
　 （２）　傾きが最も大きい領域でも傾きが１未満の場合はグラフを曲線に添って延長して、傾きが１になると思われる点をＰとします。
　２．傾き１の直線からずれる量ｑを求める
　　　　　観測値を示すグラフ上（例；「グラフ−１」）でＰ点より５等小さい（明るい）部分をＱ点として、さらにＰ点
　　　　を通って傾きが１となる直線上でＰ点より５等明るい部分をＱ’とする。つまり、Ｑ，Ｑ’のＶｔ座標はｐ−５
　　　　となっています。（「グラフ−３〕参照）。
　　　　　一方Ｇ座標上でＱとＱ’の値の差をｑとして，グラフからｑの値を求めておきます。
　３．γの概数を求める
　　　ここでγ，δが厳密な値として求められていなくても心配することはありません。α，βを求める際にかなり
　　適正化されることのほか，もともとデジタルカメラによる測光では誤差を0.05等より小さくすることが極めて困
　　難であるため、概略が求められれば十分です。

　　　（１） γの値は、経験的に
　　　　　　　　　γ＝（12.38／ｑ0.33）−6.79＋ｐ　･･････････････　(4)
　　　　　　として得ることができます。

　　　　　　　◆　市販のデジタルカメラでは、天体の測光に使用できるラチチュードが広くはないので、
　　　　　　　　　PQの間隔を５等もとることができない場合が多いでしょう。そこで，PQ間を４等，３等とした
　　　　　　　　　ｐ−４，ｐ−３の場合からｑをそれぞれｑ₄，ｑ₃，として，γを求める場合の概算式を示すと
　　　　　　　　　次の(5)，(6)となります。

　　　　（２）　ｐ−４の位置でγを求める場合は、Q−Q'の値をｑ₄ とすると
　　　　　　　　　γ＝（11.84／ｑ₄^0.29）−8.46＋ｐ　･･････････････　(5)

　　　　（３）　ｐ−３の位置でγを求める場合は、Q−Q'の値をｑ₃ とすると
　　　　　　　　　γ＝（11.67／ｑ₃^0.25）−10.84＋ｐ　･･････････････　(6)

　　４．δを求める
　　　　　ここで点ＰのＧ軸上（Ｖｔ軸上も同じ）での値をｐとしておきます。
　　　　　δはＧ軸上でＰに対してγと対称の位置にあるから、　δ＝ｐ−（γ−ｐ）　となり、
　　　　　　　　　δ＝２ｐ−γ　　　　 　･･････････ ･･･････････････　(7)
　　　　　と得られる。（「グラフ−３」参照）

�X　αとβを求める
　　　　上で得られたγとδの値を（４）式へ代入して、比較星の観測値Ｇからカタログ値Ｖｔへの回帰分
　　　析を行い、αとβを求めます。
　　　　基準星（比較星）は少なくとも１０星以上、できれば２０星程度を選ぶのが望ましい。
　　　　このＧの値からのＶｔへの直線回帰のとき、γとδの不確実さがかなり緩和されます。

�Y　変光星のＶｔ等級を決定する
　 　　ここで求める変光星のＶｔ等級をカタログ値と区別するためにＶｔ’としておきます。
　　その上で、（３）式を変換して、下の（8）式とします。
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・（８）
　　　上の（８）式にα〜δの定数と観測で得られた変光星のＧ等級を代入して、変光星のＶｔ’等級を求め
　　ることができます。
　　　同様に基準星のすべてのＶｔ’を求めて、カタログ値との差、Ｖｔ’−Ｖｔ の標準偏差をとれば，観測値
　　の誤差がえられます。

�Z　γの求め方の別法
　　「グラフ−３」で、P点より５等小さい（明るい）部分をQ点として、Q点でのグラフの傾きをｉとします。
　　すると，γは次の概算式で表されることがわかりました。
　　�@　γ＝65(ｉ−0.54)^2.06＋16.5＋ｐ　　　ただし， 0.58≦ｉ≦0.89　・・・・・(９)

　　�A　Q点を（ｐ−４）の位置としたときのグラフの傾きをｉ_^４ とすると，
　　　 γ＝132ｉ_^４−0.685)^2.06＋16.7＋ｐ　 ただし， 0.73≦ｉ_^４≦0.92　・・・・(1０)

　　�B　Q点を（ｐ−３）の位置としたときのグラフの傾きをｉ３ とすると，
　　　　γ＝370(ｉ_^３−0.814)^2.04＋16.8＋ｐ ただし， 0.83≦ｉ_^３≦0.95　・・・・(1１)


�Z　補　足 （γ，δの求め方について、他）
　◆　上記「�W３．γの概数を求める」の(４)〜(６)式は、「グラフ−３」のｑを少しずつ変えたとき、α，β，γが
　　　どのように変化するかを表計算ソフトで調べて、ｑとγの関係を求めた結果得られた概算式です。
　　　　(９)〜(1１)の式も同様に求めた概算式です。




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